正方形ABCD中,P是AB上一点,且AP=1/3AB,Q是CD上的点,且CQ=1/3CD,则AC与PQ相交锐角的正切值等

正方形ABCD中,P是AB上一点,且AP=1/3AB,Q是CD上的点,且CQ=1/3CD,则AC与PQ相交锐角的正切值等于多少

如图
设正方形ABCD的边长为3a；AC、PQ相交于点O；∠AOP=∠COQ=θ
因为AP=1/3AB、CQ=1/3CD
所以,AP=CQ=a
而,∠OAP=∠OCQ=45°,∠APO=∠CQO
所以,△AOP≌△COQ（ASA）
所以,AO=CO
而,由勾股定理得到：AC^2=AB^2+BC^2=9a^2+9a^2=18a^2
所以,AC=3√2a
所以,AO=CO=(3√2)a/2
那么,在△AOP中,由余弦定理得到：
PO^2=AP^2+AO^2-2AP*AO*cos∠PAO
=a^2+(3√2a/2)^2-2*a*(3√2/2)*(√2/2)
=5a^2/2
所以,PO=(√10)a/2
再由正弦定理有：AP/sinθ=PO/sin∠PAO
即：a/sinθ=[(√10)a/2]/(√2/2)
所以,sinθ=1/√5
所以：tanθ=1/2

ao=√2a/2
am=pm=a/3/√2
所以正切值=pm/om=1/2