已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．

解题思路：根据等差数列的定义以及充要条件的定义进行证明即可．

充分性：∵a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+a_n+1=n+1+n，
即a_n+1-（n+1）=-（a_n-n），
若a₁=1，则a₂-（1+1）=-（a₁-1）=0，
∴a₂=2，以此类推得到a_n=n，
此时{a_n}为等差数列．
必要性：
∵a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+2+a_n+1=2n+3，
两式相减得a_n+2-a_n=2，
若数列{a_n}为等差数列，则a_n+2-a_n=2d，
即2d=2，∴d=1．
则a_n+a_n+1=2a_n+1=2n+1，
∴a_n=n，即a₁=1成立．
综上数列{a_n}为等差数列的充要条件是a₁=1．

点评：
本题考点： 等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差数列的定义以及充要条件的应用，考查学生的推理能力．

假设an为等差数列
an+a（n+1）=2n+1。。。。。。（1）
a（n-1）+an=2n-1。。。。。。（2）
（1）-（2）
d+d=2
d=1
即公差为1
an=a1+(n-1)d
a(n+1)=ai+nd
an+a（n+1）=2n+1
即a1+(n-1)d+a1+nd=2n+1
2a1=2
a...