设函数f（x）=（1/3）mx³+(4+m)x²,g(x)=alnx,其中a≠0
设函数f（x）=（1/3）mx³+(4+m)x²,g(x)=alnx,其中a≠0
（1）若函数y=g（x）图像恒过定点P,且点P在y=f（x）的图像上,求m的值
（2）当a=8时,设F(x)=f’（x）+g（x）,讨论F（x）的单调性
（3）在（1）的条件下,设G（x）{（f（x）,x≤1）,（g（x）,x>1）,曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q,使三角形OPQ是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y轴上?若存在,求a的取值范围；若不存在,请说明理由
（1）若函数y=g（x）图像恒过定点P,且点P在y=f（x）的图像上,求m的值
（2）当a=8时,设F(x)=f’（x）+g（x）,讨论F（x）的单调性
（3）在（1）的条件下,设G（x）{（f（x）,x≤1）,（g（x）,x>1）,曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q,使三角形OPQ是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y轴上?若存在,求a的取值范围；若不存在,请说明理由
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（1）、函数y=g（x）=alnx图像恒过定点P,则点P为（1,0）,将点P得坐标代入f（x）=（1/3）mx³+(4+m)x²,即m/3+（4+m）=0,解得：m=-3.
（2）、f’（x）=mx²+2（4+m）x,所以F（x）=f’（x）+g（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx；
F‘（x）=2mx+2（4+m）+8/x=2（m+4/x）（x+1）；
令F’（x）=0,得：x=-1,x=-4/m；
m0,F（x）为单调增函数.
x在（-1,0）和（-4/m,+无穷）区间,F’（x）1,所以,a>0.
（2）、f’（x）=mx²+2（4+m）x,所以F（x）=f’（x）+g（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx；
F‘（x）=2mx+2（4+m）+8/x=2（m+4/x）（x+1）；
令F’（x）=0,得：x=-1,x=-4/m；
m0,F（x）为单调增函数.
x在（-1,0）和（-4/m,+无穷）区间,F’（x）1,所以,a>0.
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