已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、
| 已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心. （1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； （2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断. |
赞 璎子 幼苗
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(1)证明略(2) 平面EFGH∥平面ABCD
（1） 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有
=
，
= 
，
= 
，
= 
∴
=
+
=（ - ）+（ - ）
=
（ - ）+ （ - ）
= （
+
）
又∵ = - = - = 
∴ = （ + ）,∴ = +
由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面.
(2) 由（1）得 = ,故 ∥ .
又∵ 
平面ABC，EG
平面ABC.
∴EG∥平面ABC.
又∵ = - =
（1） 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有
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，
= 
，
= 
，
= 
∴
=
+
=（
- ）+（ - ）=
（ - ）+ （ - ）=
（
+
）又∵
= - = - = 
∴
= （ + ）,∴ = + 由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面.
(2) 由（1）得
= ,故 ∥ .又∵
平面ABC，EG
平面ABC.∴EG∥平面ABC.
又∵
= - =
1年前
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