已知函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0

解题思路：（1）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式；
（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分离参数法，我们就可以求实数a的取值范围．

（1）∵函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依题意，对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x²-bsinx=x²+bsinx，
∴2bsinx=0对于任意实数x都成立，∴b=0
所以f（x）=x²-2．
（2）∵g（x）=x²-2+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，
g′（x）=2x+2+[a/x]．
∵函数g（x）在（0，1）上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上单调递减
∴a≤-4．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式，考查利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．