设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n∈N+，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an

（1）∵n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1．
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2．
两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．
即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，
∵a_n≠0，∴
an+1
an=
1/2]（n≥2），
∴a_n=（[1/2]）^n-1．…（2分）
∵b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），∴b_n+1-b_n=（[1/2]^）n-1．
得b₂-b₁=1，b₃-b₂=[1/2]，b₄-b₃=（[1/2]）²，…，b_n-b_n-1=（[1/2]）^n-2（n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得
b_n-b₁=1+[1/2]+（[1/2]）²+（[1/2]）³+…+（[1/2]）^n-2
=
1−(
1
2)n−1
1−
1
2=2-（[1/2]）^n-2．
又∵b₁=1，∴b_n=3-（[1/2]）^n-2（n=1，2，3…）．…（4分）
（2）证明：∵c_n=n（3-b_n）=2n（[1/2]）^n-1．
∴T_n=2[(
1
2)0+2×(
1
2)+3×(
1
2)2+…+n×(
1
2)n−1]，①
[1/2Tn＝2[(
1
2)+2×(
1
2)2+3×(
1
2)3+…+n×(
1
2)

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

1年前

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