如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形．△OAB的外接圆交y轴的正半

解题思路：（1）由于OA是等边三角形的边，又是圆的弦，过B点作OA的垂线，根据等边三角形的性质，可求B点坐标，连接AC，则∠OCA=∠OBA=60°，解直角△OCA可求OC．
（2）因为∠COA=90°，所以CA为直径，CD为圆的切线，∠OCA=60°，所以∠DCO=30°，解直角△OCD可求OD，取AC的中点（圆心）为O'，用阴影部分面积=△OCD面积+△OO'C面积-扇形OO'C面积可求解．
（3）①设点Q的坐标为（0，t），计算OH的长，△OPM为等腰三角形，有三种可能：OP=OM，OM=PM，OP=PM，根据每一种情况下的图形特征，分别求解．

（1）过点B作OA的垂线，垂足为G，
∵A（2，0），∴OA=2，OG=[1/2]OA=1，
设B点坐标为（1，t），则
12+t2=2，
∴t=
3，∴B（1，
3）（1分）
连接AC，
则∠OCA=∠OBA=60°，∴[OA/OC]=tan60°，
OC=[OA/tan60°]=
2

3=
2
3
3，
∴C（0，
2
3
3）．

（2）∵∠COA=90°，
∴CA为直径，
又∵CD为圆的切线，∠OCA=60°，
∴∠DCO=30°，
∴OD=tan∠DCO•OC=

3
3×
2
3
3=[2/3]，
∵AC是⊙O的直径，BG为△OAB的边OA的中线，
∴O′为△ABC外接圆的圆心，
∵∠OCA=60°，∴∠OCA=30°，∠OO′C=60°，
S_阴影=S_△OCD+S_△OO'C-S_扇形OO'C=[1/2]×[2/3]×
2
3
3+[1/2]×
2
3
3×1-
60π×
2
3
3
180=
5
3−2π
9．

（3）①设点Q的坐标为（0，t），
OH=OA×cos60°=
3，
（I）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
过点P做PE⊥OA，垂足为E，则有：OE=
3EP，
即t-[1/2]（
3-t）=

3
2（
3−t），
解得：t=1，即点Q的坐标为（0，1）．
（II）若OM=PM，则∠MOP=∠MPO=30°，
∴PQ∥OA，从而OQ=0.5OP，
即t=[1/2]（
3-t），
解得t=

3
3即点的坐标为（0，

3
3），
（III）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠COB，此时PQ∥OC，不满足题意．
②线段OM的长的最大值为[3/4]．

点评：
本题考点： 切线的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算．

考点点评： 本题考查了正三角形与圆，圆的切线性质，等腰三角形条件的探求方法，面积求法及分类讨论的思想，具有较强的综合性．