如图，AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1在⊙O2上，BD，O1C分别是⊙O1与⊙O2的直径，CA与BD的延长线交于E点，

（1）证明：连接O₁A，（1分）
∵O₁C是⊙O₂的直径，
∴∠O₁AC=90°，（2分）
∴O₁A⊥AE．
又∵点A在⊙O₁上，
∴AE是⊙O₁的切线．（3分）

（2）证明：在⊙O₂中，∠O₁BA与∠O₁CA都是

O1A上的圆周角，
∴∠O₁BA=∠O₁CA．（4分）
在⊙O₁中，由弦切角定理，得∠DAE=∠O₁BA，（5分）
∴∠O₁CA=∠DAE．（6分）
∴AD∥O₁C．（7分）

（3）∵[r/R＝
1
2]，R=2r，
在Rt△AO₁C中，O₁A²=O₁M•O₁C，r²=O₁M•2R=O₁M•4r，
即O₁M=[1/4]r．（8分）
∵在Rt△BAD中，O₁M∥AD，
∴
O1M
AD＝
BO1
BD．
即

1
4r
AD＝
r
2r，AD＝
1
2r．①
∵在△EO₁C中，AD∥O₁C，
∴[ED
EO1＝
AD
O1C，
1/1+r＝
AD
4r]
即AD＝
4r
1+r；②（9分）
由①和②得[1/2r＝
4r
1+r]，解之，得r=7．（10分）

（3）解法二：∵∠DBA=∠O₁CA，∠DAB=∠O₁AC=90°，
∴△DBA∽△O₁CA．
又∵[r/R＝
1
2]，
∴[DA
O1A＝
BD
O1C＝
2r/2R＝
1
2]．（8分）
设DA=x，
∴O₁D=O₁A=2x，O₁C=8x．
∵DA∥O₁C，ED=1，EO₁=1+2x，
∴[ED
EO1＝
DA
O1C，
1/1+2x＝
x
8x]，（9分）
解之，得x＝
7
2．
∴r=2x=7．（10分）

点评：
本题考点： 切线的判定；圆与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定、线线平行的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

1年前

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