设P为等边三角形ABC外的一点,且PA=3、PB=4、PC=5.求△ABC的边长

由余弦定理,有：PA^2＝PB^2＋AB^2－2PB×ABcos∠PBA,
∴9＝16＋AB^2－（8cos∠PBA）AB,　∴AB^2－（8cos∠PBA）AB＋7＝0.
在△ABC中,显然有：AB为实数,　∴需要（8cos∠PBA）^2－4×7≧0,
∴（cos∠PBA）^2≧28/64＝7/16,
∴cos∠PBA≧√7/4＞1/2,或cos∠PBA≦－√7/4＜－1/2.
∴∠PBA＜60°,或∠PBA＞120°.

考虑到△ABC是等边三角形,有：∠ABC＝60°.
∴在△PBC中,有：∠PBC＝∠PBA＋∠ABC＝∠PBA＋60°＜180°,　∴∠PBA＜120°.
∴∠PBA＞120°是不合理的,应舍去.

∵∠PBA＜60°,∴可作出等边三角形PBD,使点D落在∠ABC内.
∵△PBD、△ABC都是等边三角形,　∴PB＝DB、AB＝CB、∠PBD＝∠ABC＝60°.
又∠PBD＝∠PBA＋∠ABD、∠ABC＝∠ABD＋∠DBC,　∴∠PBA＝∠DBC、∠APB＝∠BDC.

∵∠PBA＝∠DBC、PB＝DB、AB＝CB,　∴△PBA≌△DBC,∴PA＝DC＝3.
∵△PBD是等边三角形,　∴∠PDB＝60°、PD＝PB＝4.
∵PD＝4、DC＝3、PC＝5,　∴PD^2＋DC^2＝PC^2,
∴由勾股定理的逆定理,有：∠PDC＝90°,而∠PDB＝60°,　∴∠BDC＝30°.
∴∠APB＝∠BDC＝30°.