（2014•鹤城区二模）甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300mL，从甲容器中取出100mL溶液，将其倒入乙容器

（2014•鹤城区二模）甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300mL，从甲容器中取出100mL溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100mL溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：a₁=20%，b₁=2%，第n次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：a_n，b_n．
（Ⅰ）请用a_n，b_n分别表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1%．

venus4231 1年前已收到1个回答举报

maxinru 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）由题意，第n次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：a_n，b_n，从而可用a_n，b_n分别表示a_n+1和b_n+1；
（Ⅱ）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列{a_n-b_n}．由（I）可得数列{a_n-b_n}是以a₁-b₁=18%为首项，以

2]为公比的等比数列，令a_n-b_n＜0.1%，即可得出结论．

（I）由题意可设在第一次调和后的浓度为a₁=20%，b₁=2%，bn+1＝
100an+300bn
(100+300)＝
1
4an+
3
4bn；
an+1＝
100bn+1+200an
(100+200)＝
1
3bn+1+
2
3an=[1/3(
1
4an+
3
4bn)+
2
3an＝
3
4an+
1
4bn…（6分）
（II）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列{a_n-b_n}．
由（I）可得：an+1−bn+1＝(
1
3bn+1+
2
3an)−bn+1＝
2
3(an−bn+1)＝
2
3[an−(
1
4an+
3
4bn)]＝
1
2(an−bn)
=an+1−bn+1＝(
1
3bn+1+
2
3an)−bn+1＝
2
3(an−bn+1)＝
2
3[an−(
1
4an+
3
4bn)]＝
1

点评：
本题考点：数列的应用．

考点点评：本题考查数列的性质和应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．

1年前

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