（I）给定数列{c n }，如果存在实常数p，q，使得c n+1 =pc n +q对于任意n∈N*都成立，则称数列{c
| （I）给定数列{c n }，如果存在实常数p，q，使得c n+1 =pc n +q对于任意n∈N*都成立，则称数列{c n }是“M类数列”． （i）若 a n =3• 2 n ，n∈ N * ，数列{a n }是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由； （ii）若数列{b n }的前n项和为 S n = n 2 +n，证明数列{ b n } 是“M类数列”． （Ⅱ）若数列 { a n }满足 a 1 =2， a n + a n+1 = 2 n (n∈ N * )，求数列{ a n } 前2013项的和． |
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（Ⅰ）（i）∵ a n =3• 2 n ，n∈ N * ，
∴ a n+1 =3× 2 n+1 =2×(3× 2 n ) =2×a n =2a n +0，
∴p=2，q=0
∴数列{a n }是“M”数列．
（ii）当n=1时， b 1 = S 1 = 1 2 +1 =2．
当n≥2时，b n =S n -S n-1 =n 2 +n-（n-1） 2 -（n-1）=2n．
上式对于n=1时也成立，
∴b n =2n（n∈N * ）．
∴b n+1 =2（n+1）=2n+2=b n +2．
∴数列{b n }是“M”数列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵ a n + a n+1 = 2 n （n∈N * ），∴ a 2 + a 3 = 2 2 ， a 4 + a 5 = 2 4 ，… a 2012 + a 2013 = 2 2012 ．
S 2013 =a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2013 =2+2 2 +2 4 +…+2 2012 = 2+
4×( 4 1006 -1)
4-1 =
2 2014 +2
3 ．
故数列{a n }前2013项的和S 2013 =
2 2014 +2
3 ．
∴ a n+1 =3× 2 n+1 =2×(3× 2 n ) =2×a n =2a n +0，
∴p=2，q=0
∴数列{a n }是“M”数列．
（ii）当n=1时， b 1 = S 1 = 1 2 +1 =2．
当n≥2时，b n =S n -S n-1 =n 2 +n-（n-1） 2 -（n-1）=2n．
上式对于n=1时也成立，
∴b n =2n（n∈N * ）．
∴b n+1 =2（n+1）=2n+2=b n +2．
∴数列{b n }是“M”数列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵ a n + a n+1 = 2 n （n∈N * ），∴ a 2 + a 3 = 2 2 ， a 4 + a 5 = 2 4 ，… a 2012 + a 2013 = 2 2012 ．
S 2013 =a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2013 =2+2 2 +2 4 +…+2 2012 = 2+
4×( 4 1006 -1)
4-1 =
2 2014 +2
3 ．
故数列{a n }前2013项的和S 2013 =
2 2014 +2
3 ．
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