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解题思路：由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；
由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．
由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．
由题意可得：将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；
3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，
（105-1）÷2=52，
答：这个自然数最小是52．
故答案为：52．
点评：
本题考点： 带余除法．
考点点评： 此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．
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