在直角三角形中:勾股定理a²＋b²＝c²是怎样证明而得到的?

具体的证明方法有几百种
我给你介绍一种最经典的吧,几何之父欧几里得的证法：




设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
在正式的证明中,需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.
证明的概念为：
把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.
几何原本 证明示意图
其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.
画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.
分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.
∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.
因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须全等于△FBC.
因为 A 与 K 和 L在同一直线上,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.
因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.
因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = (AB)².
同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH =(AC)².
把这两个结果相加,(AB)²+(AC)² = BD×BK + KL×KC
由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此(AB)² + (AC)² =(BC)².


上面的证明过程写得比较细
其实考试时过程不必写这么详尽,主要思路清晰就行
（关于欧氏几何的经典证法很容易考到）