如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是B1C和BD上的点且CM=DM.求证MN∥平面AA1B1B

过N作线段NE⊥AB,交AB于E；过M作线段MF⊥BB',交BB'于F；连结EF.
∵ABCD-A'B'C'D'为正方体
∴CM=DN, CB'=BD, ∠NBE=∠MB'F=45°
∴CB'-CM=B'M=BD-DN=BN (即B'M=BN)
∵NE⊥AB, MF⊥BB'
∴∠BEN=∠B'FM=90°
∴△BEN≌△B'FM (直角三角形AAS)
∴NE=MF
∵NE⊥AB, MF⊥BB', ABCD-A'B'C'D'为正方体, BC⊥AB, BC⊥BB'
∴NE‖BC, MF‖BC
∴NE‖MF
∴四边形EFMN为平行四边形
∴MN‖EF
∵EF在平面AABB内
∴MN‖平面AABB