如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y= x 2 交于M（x 1 ，y 1 ）和N（x 2 ，y 2 ）
如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y= x 2 交于M（x 1 ，y 1 ）和N（x 2 ，y 2 ）两点（其中x 1 ＜0，x 2 ＜0）。 |
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| （1）求b的值； （2）求x 1 ·x 2 的值； （3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M 1 、N 1 ，判断△M 1 FN 1 的形状，并证明你的结论； （4） 对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。 |
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（1）把点F（0，1）坐标代入y=kx+b中得b=1；
（2）由y=
x 2 和y=kx+1得
x 2 -kx-1=0化简得x 1 =2k-2，x 2 =2k+2，x 1 ·x 2 =-4；
（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）：
理由如下：设直线l与y轴的交点是F 1 ，
FM 1 2 =FF 1 2 +M 1 F 1 2 =x 1 2 +4，FN 1 2 =FF 1 2 +F 1 N 1 2 =x 2 2 +4，
M 1 N 1 2 =（x 1 -x 2 ） 2 =x 1 2 +x 2 2 -2x 1 x 2 =x 1 2 +x 2 2 +8，
∴
，
∴△M 1 FN 1 是以F点为直角顶点的直角三角形；
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1
过M作MH⊥NN 1 于H，MN 2 =MH 2 +NH 2
=
2 +
，
∴
，
分别取MN和M 1 N 1 的中点P，P 1 ，
，
∴PP 1 = MN，即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半，
∴以MN为直径的圆与l相切。
（2）由y=
x 2 和y=kx+1得
x 2 -kx-1=0化简得x 1 =2k-2，x 2 =2k+2，x 1 ·x 2 =-4；（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）：
理由如下：设直线l与y轴的交点是F 1 ，
FM 1 2 =FF 1 2 +M 1 F 1 2 =x 1 2 +4，FN 1 2 =FF 1 2 +F 1 N 1 2 =x 2 2 +4，
M 1 N 1 2 =（x 1 -x 2 ） 2 =x 1 2 +x 2 2 -2x 1 x 2 =x 1 2 +x 2 2 +8，
∴
，∴△M 1 FN 1 是以F点为直角顶点的直角三角形；
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1
过M作MH⊥NN 1 于H，MN 2 =MH 2 +NH 2
=
2 +
，∴
，分别取MN和M 1 N 1 的中点P，P 1 ，
，∴PP 1 = MN，即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半，
∴以MN为直径的圆与l相切。
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