关于线性代数中二次型合同的一道综合体

二次型的矩阵A=
5 -1 3
-1 a -3
3 -3 3
由已知,r(A)=2,故|A|=0
而|A|=6(a-5)
所以 a=5.
|A-λE|=
5-λ -1 3
-1 5-λ -3
3 -3 3-λ
r1+r2
4-λ 4-λ 0
-1 5-λ -3
3 -3 3-λ
c2-c1
4-λ 0 0
-1 6-λ -3
3 -6 3-λ
=(4-λ)[(6-λ)(3-λ)-18]
=(4-λ)(λ^2-9λ)
=λ(4-λ)(λ-9).
所以A的特征值为 0,4,9.
AX=0 的基础解系为:a1=(-1,1,2)^T.
(A-4E)X=0 的基础解系为:a2=(1,1,0)^T.
(A-9E)X=0 的基础解系为:a3=(1,-1,1)^T.
单位化得
b1=(-1/√6,1/√6,2/√6)^T.
b2=(1/√2,1/√2,0)^T.
b3=(1/√3,-1/√3,1/√3)^T.
令Q=(b1,b2,b3),则 X=QY 为正交变换
且 f = 4y2^2+9y3^2.
这类题目太繁了