君安偶爱ii你
幼苗
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lim x→0,(tanx-sinx)/(sin2x)^3
应用罗比达法则,分子分母同时求导
上式=lim x→0,(1/(cosx)^2-cosx)/[3*(sin2x)^2*cos2x*2]
=1/6lim x→0(1-(cosx)^3)/(sin2x)^2
再次应用罗比达法则,分子分母同时求导
上式=1/6lim x→0(3(cosx)^2*sinx)/2sin2x*cos2x*2)=1/8lim x→0(sinx/sin2x)=1/16
2.lim x→0,sin(x-1)tan(x-1)/2(x-1)lnx
=-(sin1*tan1)/2lim x→0,1/lnx=0
1年前
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君安偶爱ii你
等阶无穷小学过么? tanx-sinx=sinx/cosx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx=(sinx*2sin(x/2)^2)/cosx 当x→0,sinx与x等阶无穷小 sin(x/2)与x/2等阶无穷小 因此sinx*2sin(x/2)^2)/cosx与1/2*x^3等价无穷小 同理,(sin2x)^3与8x^3等价无穷小 lim x→0,(tanx-sinx)/(sin2x)^3 =lim x→0,(1/2*x^3)/(8x^3)=1/16
gwj7622
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很感谢,第一题看懂了。能不能解释下第二题,这题也是用等价无穷小做的吗?为什么会是等于-(sin1*tan1)/2
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君安偶爱ii你
第二题我怀疑你抄错了 x→0,sin(x-1)tan(x-1)/2(x-1)都趋于常数,sin(x-1)→sin(-1), tan(x-1)→tan(-1) (x-1)→-1,只有lnx→负无穷,因此极限为0 原题应该是 x→1吧?
gwj7622
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是不是f(x)趋近于正无穷大或负无穷大的时候极限都是0啊?我对极限这方面不是很清楚。
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君安偶爱ii你
不是的,f(x)趋近于正无穷大或负无穷大的时候,lim,1/f(x)=1/无穷=0 就像第二题,x→0,lnx→负无穷,lim,1/lnx=1/负无穷=0
gwj7622
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看不明白,第二题不就是因为x→0,lnx→负无穷,所以极限为0吗?比如3^x,当x→∞,它的极限是等于多少?是无穷大还是0?