已知函数f(x)＝(x2−2ax+1a)eax(a＞0)

解题思路：（I）a=1时，可求得切线的斜率k=f′（0）及f（0），从而利用直线的点斜式可得函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程；
（II）求得f′（x）═（ax²+[a−2/a]）e^ax，讨论ax²+[a−2/a]的符号，即可研究函数的单调性．

（I）a=1时，f（x）=（x²-2x+1）e^x，f′（x）=（x²-1）e^x，
于是f（0）=1，f′（0）=-1，
所以函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0．
（II）f′（x）=（2x-[2/a]）e^ax+（x²-[2/a]x+[1/a]）•a•e^ax
=（2x-[2/a]+ax²-2x+1）e^ax
=（ax²+[a−2/a]）e^ax，
∵a＞0，e^ax＞0，
∴只需讨论ax²+[a−2/a]的符号．
ⅰ）当a＞2时，ax²+[a−2/a]＞0，这和f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a=2时，f′（x）=2x²e^2x≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅲ）当0＜a＜2时，令f′（x）=0，解得x₁=-

2−a
a，x₂=

2−a
a．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x（-∞，-

2−a
a），-

2−a
a（-

2−a
a，

2−a
a）

2−a
a（

2−a
a，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）在（-∞，-

2−a
a），（

2−a
a，+∞）为增函数，f（x）在（-

2−a
a，

2−a
a）为减函数；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，讨论ax2+[a−2/a]的符号是关键，也是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．