假设在过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，有一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L（1+

对于过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx，dy=acosx，从而，


L(1+y3)dx+(2x+y)dy
=
∫π0(1+a3sin3x)dx+(2x+asinx)acosxdx
=
∫π0dx+a3
∫π0sin3dx+2a
∫π0xcosxdx+a2
∫π0sinxcosxdx．
因为

∫π0dx=π，
a3
∫π0sin3dx=2a3
∫
π
20sin3xdx=2a3•
2
3•1•1=
4a3
3，
2a
∫π0xcosxdx=2a(xsinx
|π0−
∫π0sinxdx)=-4a，
a2
∫π0sinxcosxdx=a2
∫π0sinxd(sinx)=
a2
2sin2x
|π0=0，
所以

L(1+y3)dx+(2x+y)dy=

点评：
本题考点： 第一类曲线积分（弧长曲线积分）；定积分的几何意义．

考点点评： 本题考查了曲线积分的计算、定积分的计算以及函数单调性与单调区间的求法；题目具有综合性，难度系数适中，计算量较大，需要仔细的计算．