（2012•山东）如图，椭圆M：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，直线x=±a和y=±b所围成的矩形A

解题思路：（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ） 通过

x2+4y2＝4 y＝x+m

⇒5x2+8mx+4m2−4＝0，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当−

5

＜m＜−1时，求出

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．利用由对称性，推出1＜m＜

5

，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．③当-1≤m≤1时，

|PQ|

|ST|

取得最大值

2

5

5

．求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值时m的值．

（I）e＝
c
a＝

3
2⇒
a2−b2
a2＝
3
4…①
矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程是
x2
4+y2＝1．
（II）

x2+4y2＝4
y＝x+m⇒5x2+8mx+4m2−4＝0，
由△=64m²-20（4m²-4）＞0得−
5＜m＜
5．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2＝−
8
5m，x1x2＝
4m2−4
5，
|PQ|＝

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，韦达定理以及判别式的应用，设而不求的解题方法，考查分析问题解决问题，计算能力．