（2008•佛山一模）数列{an}满足a1=[1/2]，an+1=[12−an．

解题思路：（Ⅰ）方法一，对数列递推式变形，证明{

1

an−1

}是首项为-2，公差为-1的等差数列，从而可求求数列{a_n}的通项公式；
方法二，计算前几项，猜想通项，再利用数学归纳法进行证明；
（Ⅱ）设F（x）=ln（x+1）-x，证明函数F（x）为（0，+∞）上的减函数，可得ln（x+1）＜x（x＞0），从而 ln(1+

1

n+1

)＜

1

n+1

，1−

1

n+1

＜1−ln(1+

1

n+1

)，进而可得结论．

（Ⅰ）方法一：an+1−1＝
1
2−an−1＝
an−1
2−an，
所以[1
an+1−1＝
2−an
an−1＝−1+
1
an−1． …（3分）
所以{
1
an−1}是首项为-2，公差为-1的等差数列．…（4分）
所以
1
an−1＝−n−1，所以an＝
n/n+1]．…（6分）
方法二：a2＝
2
3，a3＝
3
4，a4＝
4
5，猜测an＝
n
n+1．…（2分）
下用数学归纳法进行证明．
①当n=1时，由题目已知可知a1＝
1
2，命题成立； …（3分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时成立，即ak＝
k
k+1，那么
当n=k+1，ak+1＝
1
2−ak＝
1
2−
k
k+1＝
k+1
k+2，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．…（5分）
综上所述，数列{a_n}的通项公式为an＝
n
n+1． &nbs

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．