二次函数y=x2+ax+1/4(a-1)的图象在x轴上截得的最短线段长是多少?此时为何值?

我不知道你那个a-1是在分母还是分子上.我解的是在分子上的.
函数在X轴上截得的线段长为|X1-X2|.
利用韦达定理,X1+X2=-a,X1-X2=1/4(a-1).{1}

|X1-X2|=(X1+X2)的平方-4X1*X2(再整体开平方此式).{2}
将{1}带入{2}.得X1-X2=根号下(a平方-a+1).{3}
{3}的最小植是在a=1/2时取得,此时{3}的最小植为2分之根号3.
即,截得线段长为2分之根号3.
注:X后面的数字1,2 为脚标.开方和平方用汉字表示.由于本人打不出来.方法为此,不排除计算错误的可能性.

解析：“图象在x轴上截得的线段”就是方程两根之差的绝对值
由韦达定理得
x1+x2=-a , x1*x2=1/4(a-1) 则
(x1-x2)^2=(-a)^2-4[1/4(a-1)]=a^2-a+1
令f(x)=x^2-x+1,则
[f(x)]min=f(1/2)=3/4
故|x1-x2|的最小值为(3/4)^0.5