如图在平面直角坐标系中顶点为 4,1的抛物线交y轴于点A,角x轴于B,C两点(点B在点C的左侧)已知C点坐标为6,0
如图在平面直角坐标系中顶点为 4,1的抛物线交y轴于点A,角x轴于B,C两点(点B在点C的左侧)已知C点坐标为6,0
1）求此抛物线的解析式；
（2）联结AB,过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆于抛物线的对称轴L相切,先补全图形,再判断直线BD与圆C的位置关系并加以证明：
（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问：当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
1）求此抛物线的解析式；
（2）联结AB,过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆于抛物线的对称轴L相切,先补全图形,再判断直线BD与圆C的位置关系并加以证明：
（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问：当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．
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答：
1)
抛物线顶点为（4,1）,设抛物线y=a(x-4)²+1
点C（6,0）代入得：y(6)=4a+1=0
解得：a=-1/4
抛物线为：y=-(x-4)²/4 +1
即：y=-(1/4)x² + 2x -3
2)
点A（0,-3）,B（2,0）,C（6,0）
直线AB斜率k=3/2,因为：AB⊥BD
所以：BD斜率k=-2/3
所以：直线BD为y=(-2/3)(x-2)
所以：直线BD为2x+3y-4=0
抛物线对称轴x=4,则圆C半径R=6-4=2
圆心C到直线BD的距离d=|2×6+0-4|/√(2²+3²)=8/√13>2
所以：圆C与BD直线相离
3）
直线AC斜率k=(-3-0)/(0-6)=1/2
直线AC的平行线为y=0.5x+b
与抛物线y=-(1/4)x²+2x-3联立：
y=0.5x+b=(-1/4)x²+2x-3
整理得：x²-6x+4b+12=0
当P为切点时,点P到AC距离最大,△APC面积最大
判别式△=(-6)²-4(4b+12)=0
解得：b=-3/4
此时：x=3
代入解得：y=3/4
AC=√(3²+6²)=3√5
点P到直线AC：x-2y-6=0的距离d=|3-3/2-6|/√(1²+2²)=(9√5)/10
△APC面积S=3√5×[ (9√5)/10 ]÷2=27/4
综上所述,点P（3,3/4）时,△PAC面积最大为27/4
1)
抛物线顶点为（4,1）,设抛物线y=a(x-4)²+1
点C（6,0）代入得：y(6)=4a+1=0
解得：a=-1/4
抛物线为：y=-(x-4)²/4 +1
即：y=-(1/4)x² + 2x -3
2)
点A（0,-3）,B（2,0）,C（6,0）
直线AB斜率k=3/2,因为：AB⊥BD
所以：BD斜率k=-2/3
所以：直线BD为y=(-2/3)(x-2)
所以：直线BD为2x+3y-4=0
抛物线对称轴x=4,则圆C半径R=6-4=2
圆心C到直线BD的距离d=|2×6+0-4|/√(2²+3²)=8/√13>2
所以：圆C与BD直线相离
3）
直线AC斜率k=(-3-0)/(0-6)=1/2
直线AC的平行线为y=0.5x+b
与抛物线y=-(1/4)x²+2x-3联立：
y=0.5x+b=(-1/4)x²+2x-3
整理得：x²-6x+4b+12=0
当P为切点时,点P到AC距离最大,△APC面积最大
判别式△=(-6)²-4(4b+12)=0
解得：b=-3/4
此时：x=3
代入解得：y=3/4
AC=√(3²+6²)=3√5
点P到直线AC：x-2y-6=0的距离d=|3-3/2-6|/√(1²+2²)=(9√5)/10
△APC面积S=3√5×[ (9√5)/10 ]÷2=27/4
综上所述,点P（3,3/4）时,△PAC面积最大为27/4
1年前
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