已知函数f（x）=（x-a）lnx，f（x）的导函数为f'（x）．

解题思路：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，利用导数求函数在定义域内的最值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，代入g(x)＝

1

2

x2+ax−f′(x)(a＞−1)，求导后分-1＜a＜0和a≥0分析函数的单调区间，最后结论分写即可．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝
1
e．

x (0，
1
e) [1/e] (
1
e，+∞)
f'（x） - 0 +
f（x） 递减 极小值 递增∴f（x）的最小值为f(
1
e)＝−
1
e．
（Ⅱ）∵f′(x)＝lnx+
x−a
x，
∴g(x)＝
1
2x2+ax−(lnx+
x−a
x)．
g′(x)＝x+a−(
1
x+
a
x2)=(x+a)(1−
1
x2)=
(x+1)
x2(x+a)(x−1)．
（1）当-1＜a＜0时，在（0，-a），（1，+∞）内g'（x）＞0；
在（-a，1）内g'（x）＜0．
∴（-a，1）为递减区间，（0，-a），（1，+∞）递增区间．
（2）当a≥0时，在（0，1）内，g'（x）＜0；
在（1，+∞）内，g'（x）＞0．
∴（0，1）为递减区间，（1，+∞）为递增区间．
综上所述，当-1＜a＜0时，g（x）单调递增区间为（0，-a），（1，+∞），
递减区间为（-a，1）；
当a≥0时，g（x）单调递增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．属有一定难度题目．