求解两道高数中值定理题第一题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续(a>0),在(a,b)上可微,且f'(x)≠0.证明

解这种题的关键在于合理构造辅助函数
1.证明：
令g(x)=x^2,由拉格朗日中值定理
存在η∈(a,b),使得g'(η)=[g(b)-g(a)]/(b-a),即2η=a+b
所以原题即为证明存在ξ,η∈(a,b),使得f'(ξ)=f'(η).当ξ=η时,显然成立
2.证明：
令g(x)=arctanx,由柯西中值定理得
存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)/g'(ξ)=[f(1)-f(0)]/[g(1)-g(0)]
即f'(ξ)(1+ξ^2)=[f(1)-f(0)]/(π/4-0)=(4/π)[f(1)-f(0)],命题获证