计算∬-ydzdx+（z+1）dxdy，其中 ∑为柱面x2+y2=4被z=0，z=2截下部分的外侧．

补充两个曲面，∑1：z＝0(x2+y2≤4)取下侧，∑2：z＝2(x2+ y2≤4)取上侧，设∑、∑₁、∑₂所围成的立体为Ω，
则由高斯公式和第二类曲面积分的计算，得

∬
−ydzdx+(z+1)dxdy=
∬
∑+∑1+∑2−ydzdx+(z+1)dxdy−
∬
∑1−ydzdx+(z+1)dxdy−
∬
∑2−ydzdx+(z+1)dxdy
=
∫∫∫
Ω(
∂P
∂x+
∂Q
∂y+
∂R
∂z)dv+
∫∫
x2+y2≤4(0+1)dxdy−
∫∫
x2+y2≤4(2+1)dxdy
=
∫∫∫
Ω(0−1+1)dv+4π−3•4π
=-8π

点评：
本题考点： 用高斯公式计算曲面积分；第二类曲面积分的计算．

考点点评： 此题考查了高斯公式的运用、第二类曲面积分的计算、二重积分的几何意义，综合性比较强．另外，在计算第二类曲面积分时，很多时候需要通过补面或者挖洞，才能使用．