已知定义在正实数集上的函数f(x)=0.5x^2+2ax,g(x)=3a^2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x)
已知定义在正实数集上的函数f(x)=0.5x^2+2ax,g(x)=3a^2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,
且在改点处的切线相同
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证：f(x)>=g(x) (x>0).
且在改点处的切线相同
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证：f(x)>=g(x) (x>0).
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（1）设公共点横坐标为x0,则：f(x0)=g(x0)
即：x0²/2+2ax0=3a²lnx0+b ①
f'(x)=x+2a,g’(x)=3a²/x
由题意得：f‘(x0)=g'(x0)
即：x0+2a=3a²/x0
x0²+2ax0-3a²=0
(x0+3a)(x0-a)=0
得：x0=-3a或x0=a
因为g(x)定义域要求x0>0,而a>0,所以,舍去x0=-3a
所以,x0=a
把x0=a代入①得：a²/2+2a²=3a²lna+b
得：b=a²(5/2-3lna)
b'=2a(5/2-3lna)+a²(-3/a)=2a-6alna=2a(1-3lna)
因为a>0,所以,当1-3lnae^(1/3)时,b'0）
F'(x)=x+2a-3a²/x=(x+3a)(x-a)/x （x>0,a>0）
F'(x)
即：x0²/2+2ax0=3a²lnx0+b ①
f'(x)=x+2a,g’(x)=3a²/x
由题意得：f‘(x0)=g'(x0)
即：x0+2a=3a²/x0
x0²+2ax0-3a²=0
(x0+3a)(x0-a)=0
得：x0=-3a或x0=a
因为g(x)定义域要求x0>0,而a>0,所以,舍去x0=-3a
所以,x0=a
把x0=a代入①得：a²/2+2a²=3a²lna+b
得：b=a²(5/2-3lna)
b'=2a(5/2-3lna)+a²(-3/a)=2a-6alna=2a(1-3lna)
因为a>0,所以,当1-3lnae^(1/3)时,b'0）
F'(x)=x+2a-3a²/x=(x+3a)(x-a)/x （x>0,a>0）
F'(x)
1年前
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