已知椭圆c的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过A(0,2)、B(1/2,根号2) 1.求椭圆c的方程,2.设过E(1,0)
已知椭圆c的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过A(0,2)、B(1/2,根号2) 1.求椭圆c的方程,2.设过E(1,0)的直线L与c交于两个不同点M、N,求向量EM乘以向量EN的取值范围.
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(1)设方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,代入A（0,2）、B（1／2,√2 ）得a,b
椭圆方程为2x^2+y^2/4=1
(2)设直线为y=k(x-1) M(X1,Y1),N(X2,Y2).（向量EM）·（向量EN）=(X1-1)(X2-1)+Y1Y2=X1X2-(X1+X2)+1+K(X1-1)K(X2-1)=(K^2+1)X1X2-(K^2+1)(X1+X2)+1+K^2,
X1+X2,X1X2可由直线与椭圆联立方程,消 y得(8+k^2)x^2-2k^2x+(k^2-4)=0
由有两个根得(-2k^2)^2-4(8+k^2)(k^2-4)>0,得k^2
椭圆方程为2x^2+y^2/4=1
(2)设直线为y=k(x-1) M(X1,Y1),N(X2,Y2).（向量EM）·（向量EN）=(X1-1)(X2-1)+Y1Y2=X1X2-(X1+X2)+1+K(X1-1)K(X2-1)=(K^2+1)X1X2-(K^2+1)(X1+X2)+1+K^2,
X1+X2,X1X2可由直线与椭圆联立方程,消 y得(8+k^2)x^2-2k^2x+(k^2-4)=0
由有两个根得(-2k^2)^2-4(8+k^2)(k^2-4)>0,得k^2
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