赞 20070119 幼苗
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把绝对值里面的部分化为一次函数绝对值方程就好做了,所以用球坐标.
∫∫∫(Ω) |√(x² + y² + z²) - 1| dv
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφdφ ∫(0→secφ) |r - 1| r² dr
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [∫(0→1) (1 - r)r² dr + ∫(1→secφ) (r - 1)r² dr]
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [∫(0→1) (r² - r³) dt + ∫(1→secφ) (r³ - r²) dr]
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [ ( 1/3 * r³ - 1/4 * r⁴ ) |(0→1) + ( 1/4 * r⁴ - 1/3 * r³ ) |(1→secφ) ]
= (1/6)(√2 - 1)π
∫∫∫(Ω) |√(x² + y² + z²) - 1| dv
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφdφ ∫(0→secφ) |r - 1| r² dr
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [∫(0→1) (1 - r)r² dr + ∫(1→secφ) (r - 1)r² dr]
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [∫(0→1) (r² - r³) dt + ∫(1→secφ) (r³ - r²) dr]
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ [ ( 1/3 * r³ - 1/4 * r⁴ ) |(0→1) + ( 1/4 * r⁴ - 1/3 * r³ ) |(1→secφ) ]
= (1/6)(√2 - 1)π
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