已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率是12，且左顶点与右焦点F的距离为3．

解题思路：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0），由题意得

c

a

＝

1

2

，a+c＝3，可得a，c，再由a²=b²+c²可得b；
（2）：①当AB垂直于x轴时，易证明；②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆

x2

4

+

y2

3

＝1，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），写出直线AN、BM的方程联立，及韦达定理可求得AN与BM的交点，由其坐标可得结论；

（1）设椭圆C的方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），
则由
c
a＝
1
2，a+c＝3，得a=2，c=1，b²=3，
所以椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）证明：①当AB垂直于x轴时，AB的坐标分别为(1，
3
2)，(1，−
3
2)，AN与BM的交点为(
5
2，0)在x轴上．
②当AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入椭圆
x2
4+
y2
3＝1，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则M（4，y₁），N（4，y₂），且

x1+x2＝
8k2
4k2+3
x1x2＝
4k2−12
4k2+3，
∵直线AN方程是
y−y1
y2−y1＝
x−x1
x2−x1，直线BM方程是
y−y1
y2−y1＝
x−4
x2−4．
联立，得


y−y1
y2−y1＝
x−x1
4−x1

y−y1
y2−y1＝
x−4
x2−4，消去y，得：
x−4
x2−4＝
x−4
x2−4．
即（x₁+x₂-8）x=x₁x₂-16，即x＝
x1x2−16
x1+x2−8＝
5
2，
把x＝
5
2代入直线AN的方程
y−y1
y2−y1＝
x−x1
4−x1，
得y＝y1+
y2−y1
4−x1(
5
2−x1)＝

3
2y1+
5
2y2−x1y2

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的方程及性质，考查学生的运算求解能力，难度较大．