逆矩阵的性质概述
在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB = BA = I（其中I是单位矩阵），则称A是可逆的，B是A的逆矩阵，记作A⁻¹。逆矩阵是矩阵理论中的核心概念，它并非所有矩阵都拥有。一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，即|A| ≠ 0，此时矩阵也被称为非奇异矩阵。逆矩阵具有一系列重要的代数性质，这些性质在解线性方程组、矩阵分解以及坐标变换等数学和工程领域有着广泛的应用。
核心代数性质
首先，逆矩阵的逆是其本身，即(A⁻¹)⁻¹ = A。其次，逆矩阵的转置等于转置的逆，数学表达为(A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹。对于矩阵乘积的逆，有重要的反序性质：若矩阵A和B均可逆，则它们的乘积AB也可逆，且满足(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，这一性质在推导多个变换的复合逆时至关重要。此外，逆矩阵与数乘运算可交换：若k是非零常数，则(kA)⁻¹ = (1/k) A⁻¹。最后，逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数，即|A⁻¹| = 1/|A|。
几何意义与应用
从几何视角看，一个可逆矩阵对应一个线性变换，它将空间映射到另一个同维空间且保持结构不变（一一对应）。其逆矩阵则对应这个变换的逆操作，能将空间还原。例如，在解线性方程组Ax = b时，若A可逆，则方程存在唯一解x = A⁻¹b。在计算机图形学中，逆矩阵常用于坐标的逆向变换。理解并掌握逆矩阵的这些性质，不仅能深化对线性代数结构的认识，更是解决实际科学和工程问题的关键数学工具。