（2011•河南模拟）复数Z=[i−1/i]的模是（　　）

解题思路：（1）由an+1＝

a

2 n

+6

a

n

+6，得

an+1+3＝(an+3)2.

，代入C_n=log₅（a_n+3）可得C_n+1=2C_n，由等比数列定义可证明；
（2）由等比数列通项公式可求得c_n，根据C_n=log₅（a_n+3）可求a_n；
（3）bn＝

1

an−6

−

1

a 2 n +6an

＝

1

an−6

−

1

an+1−6

，则Tn＝

1

a1−6

−

1

a2−6

+

1

a2−6

−

1

a3−6

+…+

1

an−6

−

1

an+1−6

可求，由表达式可证；

（1）证明：由an+1＝
a2n+6
a n+6，得

an+1+3＝(an+3)2.，
∴log₅（a_n+1+3）=2log₅（a_n+3），即C_n+1=2C_n，
∴{C_n}是以2为公比的等比数列；
（2）又C₁=log₅5=1，∴Cn＝2n−1，即 log5(an+3)＝2n−1，
∴an+3＝52n−1．
故an＝52n−1−3．
（3）证明：∵bn＝
1
an−6−
1

a2n+6an＝
1
an−6−
1
an+1−6，
∴Tn＝
1
a1−6−
1
a2−6+
1
a2−6−
1
a3−6+…+
1
an−6−
1
an+1−6
=[1
a1−6−
1
an+1−6=-
1/4]-
1
52n−9．
又

点评：
本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式、裂项求和，考查学生的运算求解能力．