（普通班）如图所示，从椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭

解题思路：（1）首先根据MF₁⊥x轴，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，从而得到比例线段：

MF1

BO

＝

OF1

AO

．再根据点M在椭圆上，
求出M的纵坐标，得出MF₁=

b2

a

，再结合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化简可得b=c，从而求出椭圆的离心率e；
（2）当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，
在△F₁QF₂中，利用余弦定理，结合基本不等式和椭圆的定义，可以证出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论
a²=2c²，可以证出cosθ≥0，从而得到0＜θ≤[π/2]．最后综合，得到θ∈[0，

π

2

]，即为∠F₁QF₂的取值范围．

（1）∵MF₁⊥x轴，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO⇒
MF1
BO＝
OF1
AO…（*）
设点M（-c，y₁），代入椭圆方程
x2
a2+
y2
b2＝1，
得
c2
a2+
y12
b2＝1，解之得y₁=
b2
a（舍负），所以MF₁=
b2
a，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴将AO、BO、MF₁、OF₁的长代入（*）式，得

b2
a
b＝
c
a，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴离心率e满足e²=
1
2，可得e＝

2
2（舍负）（8分）
（2）分两种情况加以讨论
①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；
②当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，则
在△F₁QF₂中，F1F22＝QF12+QF22−2QF1•QF2cosθ
即F1F22＝(QF1 +QF2)2−2QF1•QF2(1+cosθ)，
将F₁F₂=2c，QF₁+QF₂=2a代入，得4c²=4a²-2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∴4a²-4c²=2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∵QF₁•QF₂≤(
QF1+QF2
2)2=a²，即得2QF₁•QF₂（1+cosθ）≤2a²（1+cosθ），
∴4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）的结论a²=2c²，
∴2a²≤2a²（1+cosθ）⇒cosθ≥0，
∵θ∈（0，π）
∴0＜θ≤
π
2，
综上所述，θ∈[0，
π
2]，即∠F₁QF₂的取值范围是[0，
π
2]（14分）

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题结合一个特殊的椭圆，以求椭圆的离心率和焦点三角形中角的取值范围为载体，着重考查了椭圆的基本概念、余弦定理和基本不等式等知识点，属于中档题．