（2005•杭州二模）△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，△AnBn-1Bn均为等腰直角三角形，已知它们的
（2005•杭州二模）△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，△AnBn-1Bn均为等腰直角三角形，已知它们的直角顶点A1，A2，A3，…，An在曲线xy=1（x＞0）上，B1，B2，B3，…，Bn在x轴上（如图），（1）求斜边OB1，B1B2，B2B3的长；
（2）求数列OB1，B1B2，B2B3，…，Bn-1Bn的通项公式．
赞 yeah818 幼苗
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解题思路：（1）利用图形关系直接可以计算；（2）解法一可以由（1）猜想结论，然后利用数学归纳法进行证明，解法二借助于表示出Bn、An的坐标，利用曲线xy=1，从而构建数列，探求其通项．
（1）OB1＝2，B1B2＝2(
2−1)，B2B3＝2(
3−
2)．（4分）
（2）解法1：Bn-1Bn=an，猜想出an＝Bn−1Bn＝2(
n−
n−1)
当n=1时，由上已证猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即有ak＝2(
k−
k−1)，（2分）
设Sk是an的前k项和，则有(Sk+
ak+1
2)•
ak+1
2)•
ak+1
2＝1．
∴
点评：
本题考点： 数列与解析几何的综合．
考点点评： 本题的解法一体现特殊到一般地思维，但结论的正确性必须有严密的证明；解法二的关键是构建数列，从而探求数列的通项．
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