已知函数f(x)＝12x2−(1+a)x+alnx，其中a＞0．

（Ⅰ）f′(x)＝x−(1+a)+
a
x＝
x2−(1+a)x+a
x＝
(x−1)(x−a)
x
令f'（x）=0，得到x₁=1，x₂=a．
（1）当a=1时，f（x）在定义域单调递增，没有极小值点．
（2）当a＞1时，x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

所以x=1是函数的极大值点，x=a是函数的极小值点；
（3）当0＜a＜1时，x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：

所以x=1是函数的极小值点，x=a是函数的极大值点；
综上所述．当0＜a＜1时，x=1是函数的极小值点；当a＞1时，x=a是函数的极小值点；
（II）若曲线y=f（x）在点A（m，f（m）），B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，则f′（m）=0，f′（n）=0，
由（I）的讨论知，m=1，n=a或m=a，n=1，f（1）=-[1/2]-a，f（a）=-
a2
2-a+alna．
∴函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，且单调，则有f（1）f（a）≤0，
即（-[1/2]-a）（-
a2
2-a+alna）≤0，
∴（
a2
2+a-alna）≤0，故lna≥
a
2+1，
下面证明此不等式不成立．
令g（a）=lna−
a
2−1，则g′（a）=[1/a]-[1/2]=[2−a/2a]，
于是当a∈（0，2），g′（a）＞0，a∈（2，+∞），g′（a）＜0，
所以，g（a）在（0，2）单调递增，在[2，+∞）单调递减，
所以函数g(a)＝lna−
a
2−1在a=2取得最大值g（2）=ln2-2＜0．
所以g(a)＝lna−
a
2−1≤g(2)＜0，所以lna＜
a
2+1．
故不存在满足要求的常数a．-------（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．