如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1
如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；
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解题思路：（1）根据折叠前后的线段长度，得出AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1，可以证出AB⊥平面BCC1B1．
（2）由（1）AB为四棱锥A-BCQP的高．四边形BCQP为直角梯形，利用锥体体积计算公式计算即可．
（2）由（1）AB为四棱锥A-BCQP的高．四边形BCQP为直角梯形，利用锥体体积计算公式计算即可．
（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．…（2分）
因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1． …（7分）
（Ⅱ）因为AB⊥平面BCC1B1，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为SBCQP＝
1
2(BP+CQ)×BC＝20．
所以四棱锥A-BCQP的体积VA−BCQP＝
1
3SBCQP×AB＝20． …（14分）
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本题主要考查空间几何体体积计算，线线垂直，线面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．
1年前
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