过定点A(a,0)作直线交抛物线y^2=2px于两点M(x1,y1),N（x2,y2）

设过点A的直线为l,当l和x轴垂直时,斜率是不存在的,因此,本题要分成两类讨论.
（1）①当直线l的斜率不存在时,即l方程为：x=a（a>0）,与抛物线方程联立,则得：
y² - 2pa=0 ,y=±√(2pa),所以y1y2=y²=2pa,为定值；
②设焦点为F（p/2,0）则得,tan∠MOF=tan∠NOF=︱y︱/a==√(2pa)/a,
又a=2p,所以,tan∠MOF=tan∠NOF=1,则∠MOF=∠NOF=∏/4,
∠MON=∠MOF+∠NOF=∏/2,显然为定值.
（2）①当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则其方程为：y=k(x-a)
把直线l的方程,和抛物线方程,联立化解（消去x,保留y）则可得,
y² - 2p/k y -2pa=0 ……（1）
设A、B两点的坐标分别为M((y1)²/2p,y1),N((y2)²/2p,y2)
则向量OM=((y1)²/2p,y1),向量ON=((y2)²/2p,y2),
由函数图像的交点与方程组的解的关系可知,上方程的解,即为M、N两点的坐标的值
根据韦达定理,由(1)式可得,y1y2=-2pa ……（2）；y1 + y2=2p/k ……（3）
显然,得证y1y2为定值；
② 根据向量的数量积公式可得：
cos∠MON=cos = (OA*OB) /( ︱OA︱*︱OB︱)
OA*OB= ((y1)²/2p,y1)*((y2)²/2p,y2)
︱OA︱*︱OB︱=√{[(y1)²/2p]² + (y1)²} *√{[(y2)²/2p]² + (y2)²}
把上两式分别化解成关于“y1y2”、“y1+y2”的代数式可得：
OA*OB=(y1y2/2p)² + y1y2 ……（5）
︱OA︱*︱OB︱=√{(y1y2/2p)^4 + (y1y2)² + (y1y2/2p)² [(y1+y2)² -2*y1y2]} …（6）
把（2）、（3）两式,代入（5）、（6）两式可得：
OA*OB=a²-2pa; ︱OA︱*︱OB︱=√{a^4 + (2pa)² + a² * [(2p/k )² + 4pa]}
又因为a=2p,所以 OA*OB=a²-2pa=0,
所以,cos∠MON=cos =0,即∠MON==∏/2,显然为定值.
综上所述,不论过点A的直线,是否与x轴垂直,即直线的斜率存在与否,
已知结论,皆可得证成立!