已知:如图,AB是圆O的直径,CM垂直AB于M,交圆O于点E,CA与圆O交于点D,BD交CM于点N.求证：ME·ME=M
已知:如图,AB是圆O的直径,CM垂直AB于M,交圆O于点E,CA与圆O交于点D,BD交CM于点N.求证：ME·ME=MN·MC
赞 liutingbing 春芽
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延长CM交⊙O于F
∵AB是圆O的直径
∴AC⊥BD,（那么多相似三角形我不全证了）
∵CE*CF=CD*AC（割线定理）,CE=CM-ME,CF=CM+ME
∴(CM-ME)*(CM+ME)=CD*AC,即CM²-ME²=CD*AC
又∵△CDN∽△CMA（因为∠C=∠C,∠CDN=∠CMA）
∴CD:CM=CN:AC,即CM*CN=CD*AC
又∵CM²-ME²=CD*AC（已证）
∴CM*CN=CM²-ME²
即ME²= CM²-CM*CN = CM(CM-CN)=CM*MN
∵AB是圆O的直径
∴AC⊥BD,（那么多相似三角形我不全证了）
∵CE*CF=CD*AC（割线定理）,CE=CM-ME,CF=CM+ME
∴(CM-ME)*(CM+ME)=CD*AC,即CM²-ME²=CD*AC
又∵△CDN∽△CMA（因为∠C=∠C,∠CDN=∠CMA）
∴CD:CM=CN:AC,即CM*CN=CD*AC
又∵CM²-ME²=CD*AC（已证）
∴CM*CN=CM²-ME²
即ME²= CM²-CM*CN = CM(CM-CN)=CM*MN
1年前
8
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你能帮帮他们吗