（2008•奉贤区一模）我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意x，y，x+y2∈D均

（1）
f(3)+f(5)
2≤f(
3+5
2)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）（4分）
（2）任取x，y∈R，则g(
x+y
2)＝−(
x+y
2)2，[1/2[g(x)+g(y)]＝−
x2+y2
2]，（6分）
所以g(
x+y
2)−
1
2[g(x)+g(y)]＝−
(x+y)2
4+
x2+y2
2＝
x2+y2−2xy
4≥0，
当且仅当x=y时等号成立，则g（x）∈M．（10分）
（3）设x=2^m，y=2ⁿ，则m=log₂x，n=log₂y．
由已知：函数f（x）=log₂x满足f(
x+y
2)≥
1
2[f(x)+f(y)]
得log2
x+y
2≥
1
2[log2x+log2y]，即log2
1
2≥
1
2(m+n)，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即2m＝2n＝
1
2，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）

点评：
本题考点： 基本不等式；不等式比较大小．

考点点评： 本题主要考查了抽象函数的性质，以及基本不等式研究函数的最值，属于中档题．