给定整数n≥2，设M 0 （x 0 ，y 0 ）是抛物线y 2 =nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，

证明：y ² =nx-1与y=x联立，可得x ² -nx+1=0，∴x=
n±
n 2 -4
2
∴x ₀ =y ₀ =
n±
n 2 -4
2 ．
∴x ₀ +
1
x 0 =n≥2．…（5分）
若（
x m0 ，
y m0 ）为抛物线y ² =kx-1与直线y=x的一个交点，则k=
x m0 +
1

x m0 ．…（10分）
记k _m =
x m0 +
1

x m0 ，由于k ₁ =n是整数，k ₂ =
x 20 +
1

x 20 =（x ₀ +
1
x 0 ） ² -2=n ² -2也是整数，
且k _m+1 =k _m （x ₀ +
1
x 0 ）-k _m-1 =nk _m -k _m-1 ，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，k _m =
x m0 +
1

x m0 是正整数，且k _m ≥2现在对于任意正整数m，
取k=
x m0 +
1

x m0 ，满足k≥2，且使得y ² =kx-1与y=x的交点为（
x m0 ，
y m0 ）．…（12分）