证:n维向量组α1,...,αm线性无关,向量β与α1,...,αm中的每个向量都正交,则α1,...,αm,β线性无关

证明: 设 k1α1+...+kmαm+kβ=0 (*)
等式两边与β作内积,
k1(α1,β)+...+km(αm,β)+k(β,β)=0
由β与α1,...,αm中的每个向量都正交, 所以有
k(β,β)=0
[注意: 此处必有β≠0, 否则题目不正确]
由β≠0, 所以(β,β)>0. 故k=0.
(*)式变为 k1α1+...+kmαm = 0 .
再由 α1,...,αm 线性无关, 得 k1=k2=...=km.
所以必有 k1=k2=...=km=k=0.
所以 α1,...,αm,β线性无关.
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证明：∵n维向量组α1,...,αm线性无关，∴当且仅当λ1＝λ2＝……＝λm＝0时，λ1α1＋λ2α2＋……＋λmαm＝0成立。又∵向量β与α1,...,αm中的每个向量都正交，∴β与α1,...,αm中任一向量的数量积均为0.设λ1α1＋λ2α2＋……＋λmαm＋λ(m+1)β＝0，分别点乘α1，α2，……，αm，β得λ1＝λ2＝……＝λm＝λ(m+1)＝0，所以α1，α2，……，αm，β线性...