已知函数f（x）满足2f（x）+f（-[1/x]）=6x-[3/x]，对任意x≠0恒成立，在数列{an}，{bn} 中，

（1）∵函数f（x）满足2f（x）+f（-
1/x]）=6x-[3/x]，…①
∴2f（-[1/x]）+f（x）=-6×[1/x]+3x…②
由①②得f（x）=3x（x≠0）…（3分）
（2）∵a_n+1=
f(an)
2f(an)+3=
an
2an+1，
即a_n-a_n+1=2a_na_n+1，
∴[1
an+1-
1
an=2
又∵
1
a1=1
∴数列{
1
an}是以1为首项，d=2为公差的等差数列，
∴
1
an=2n-1
∴a_n=
1/2n−1] …（6分）
又∵bn+1−bn＝
1
an=2n-1
∴当n≥2时，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+5+…+（2n-3）=n²-2n+2
当n=1时，n²-2n+2=1满足上式
故b_n=n²-2n+2 …（9分）
（3）∵b_n≥[1−λ/3]f（[1
an）恒成立，
当n=1验证符合题意；
当n≥2时，
n2−2n+2/2n−1≥1−λ对任意实数λ∈[0，1]恒成立，
∴只须
n2−2n+2
2n−1≥1
解得n=1或n≥3
∴自然数k的最小值为3．…（12分）

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查的知识点是数列与函数的综合，方程组法求函数的解析式，数列的通项公式，数列求和，恒成立问题，二次不等式，综合性强，运算强度大，属于难题．

1年前

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