如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．

解题思路：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B1D⊥平面AED．（2）求出平面B1AE的法向量和平面AED的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-D的余弦值．（3）S△B1DE=12B1D×DE=10，A到平面B1DE的距离AD=1216+16=22，由此能求出三棱锥A-B1DE的体积．

（1）证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B₁（4，0，4），C（0，4，0），B（4，0，0），
D（2，2，0），A（0，0，0），E（0，4，2），


B1D=（-2，2，-4），

AE=（0，4，2），

AD=（2，2，0），
设平面AED的法向量

n=（x，y，z），
则



n•

AE＝4y+2z＝0


n•

AD＝2x+2y＝0，取x=1，得

n=（1，-1，2），
∴

B1D∥

n，∴B₁D⊥平面AED．
（2）

AB1=（4，0，4），
设平面B₁AE的法向量

m=（a，b，c），




m•

AB1＝4a+4c＝0


m•

AE＝4b+2c＝0，取a=2，得

m=（2，1，-2），
又平面AED的法向量

n=（1，-1，2），
∴|cos＜

n，

m＞|=|
2−1−4

9×
6|=

6
6，
∴二面角B₁-AE-D的余弦值为

6
6．
（3）∵B₁D⊥平面AED，
∴S△B1DE=[1/2B1D×DE=
1
2×
16+4×
16+4]=10，
A到平面B₁DE的距离AD=
1
2
16+16=2
2，
∴三棱锥A-B₁DE的体积：
V=[1/3×S△B1DE×AD=
1
3×10×2
2]=
20
2
3．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意向量法的合理运用．