海伦——秦九韶公式中有一个三角形,边长分别为a、b、c,公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ,那么三角形的面积S

证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”.秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时,△ 2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”.S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a 追问：^知 道符 cos sin * 回答：^表示方次,cos是 余弦函数 ,sin是 正弦函数 ,*就是 乘法 .大哥你现在还没学 三角函数 如果不懂就看这个吧 （为方便 起见 ,仅以 锐角三角形 为例 推导 ） 假设 三角形 三边为a,b,c,c边对应的高为h 则根据 勾股定理 √(a-h)+√(b-h)=c 即√(a-h)=c-√(b-h) 两边同时平方 a-h=c-2c√(b-h)+b-h 2c√(b-h)=c+b-a 4cb-4ch=(c+b-a) (2cb-c-b+a)(2cb+c+b-a)=4ch (a-(b-c))((b+c)-a)=4ch (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)=4ch 则 S=ch/2 =√[(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)]/4 令a+b+c=2P 则 a-b+c=2P-2b a+b-c=2P-2c b+c-a=2P-2a 则 S=√[(2P-2b)(2P-2c)(2P-2a)2P]/4 =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]