设数列an、bn、cn的前n项和分别为Sn、Tn、Rn，对∀n∈N*，an=5Sn+1，bn＝4+an1−an，cn=b

解题思路：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，a1＝−

1

4

．n＞1时，a_n-1=5S_n-1+1，由此能求出a_n．
②bn＝

4+an

1−an

＝

4×(−4)n+1

(−4)n−1

＝4+

5

(−4)n−1

，cn＝b2n−b2n−1＝

5

16n−1

+

20

16n+4

c1＝

4

3

，cn＝

25×16n

(16n−1)(16n+4)

＝

25×16n

162n+3×16n−4

＜

25

16n

，由此能够证明Rn＜

3

2

．
③由T_n＜λn得λ＞

Tn

n

，Tn＝4n+5×[

1

−4−1

+

1

42−1

+

1

−43−1

++

1

(−4)n−1

]，由此进行分类讨论能够得到λ的取值范围是．

①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，a1＝−
1
4．n＞1时，a_n-1=5S_n-1+1，
两式相减得a_n-a_n-1=5（S_n-S_n-1）=5a_n，an＝−
1
4an−1，
所以an＝(−
1
4)n．
②bn＝
4+an
1−an＝
4×(−4)n+1
(−4)n−1＝4+
5
(−4)n−1，
cn＝b2n−b2n−1＝
5
16n−1+
20
16n+4c1＝
4
3，
cn＝
25×16n
(16n−1)(16n+4)＝
25×16n
162n+3×16n−4＜
25
16n，
从而Rn＝
4
3+c2++cn＜
4
3+
25
162+
25
163++
25
16n＝
4
3+
25
162×
1−
1
16n−1

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 多个数列通常意味着多种形式的数列、多层次问题，解题通常需要有开阔的视野和思路，能适当选择、适时转换，关键是用等差等比数列性质处理好“起始”数列，不等式的处理则要求适度“放大”或“缩小”，处理好端点．