设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为[1/3]．

解题思路：要确定抛物线的三个未知数：a，b，c．一般需要三个条件，首先抛物线过原点，确定c=0；其次该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为[1/3]，可以确定a与b的关系；最后，图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小，可以a的值．

解；∵抛物线y=ax²+bx+c过原点
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为[1/3]
即：

∫10(ax2+bx)dx＝
1
3
∴[1/3a+
1
2b＝
1
3]
∴b＝
2
3(1−a)
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π
∫10(ax2+bx)2dx＝π•[
a2
5x5+
ab
2x4+
b2
3x3
]10=π[
a2
5+
ab
2+
b2
3]=π[
2
135a2+
1
27a+
4
27]
∴V′(a)＝π•(
4
135a+
1
27)
令V′（a）=0，得：a＝−
5
4
又V″(a)＝
4π
135＞0
∴a＝−
5
4是V(a)的唯一极小值点
∴a＝−
5
4是V(a)的最小值点
此时，解得：b＝
3
2
∴a＝−
5
4，b＝
3
2，c＝0

点评：
本题考点： 旋转体的体积及侧面积的计算．

考点点评： 此题是定积分在求平面图形面积的应用以及在求旋转立体体积的运用，极小值和最小值的求法，三个知识点的综合．都属于基础知识点，需要熟练运用．