（2010•扶沟县一模）已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点

（1）∵抛物线y=x²+bx+1的顶点在x轴上，
∴y=x²+bx+1=（x±1）²．
∴b=±2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1或y=x²+2x+1．（2分）
将B（3，4）代入y=x²-2x+1，左=右，
∴点B在抛物线y=x²-2x+1上．
将B（3，4）代入y=x²+2x+1，左≠右，
∴点B不在抛物线y=x²+2x+1上．（3分）

（2）∵A点坐标为（0，1），点B坐标为（3，4）．
∵直线y=kx+m，A、B两点，
∴

1＝m
4＝3k+m．
∴

m＝1
k＝1．
∴y=x+1．（4分）
∵点B在抛物线y=x²-2x+1上．
设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E
=（x+1）-（x²-2x+1）
=-x²+3x．
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．（6分）
∴当x=-[b/2a]=[3/2]时，h有最大值，
最大值为y=-（[3/2]）²+3×[3/2]=[9/4]．（7分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，函数与点的关系以及二次函数的最值问题．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．