已知函数f(x)=ax 3 +bx 2 -3x在x=±1处取得极值。

（1） =3ax ² +2bx-3，
依题意，f′(1)=f′(-1)=0，
即 解得a=1，b=0，
∴f（x）=x ³ -3x。
（2）∵f(x)=x ³ -3x，
∴f ′(x)=3x ² -3=3(x+1)(x-1)，
当-1＜x＜1时，f ′(x)＜0，故f(x)在区间[-1，1]上为减函数，
f _max (x)=f(-1)=2，f _min (x)=f(1)=-2，
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x ₁ ，x ₂ ，
都有|f(x ₁ )-f(x ₂ )|≤|f _max (x) -f _min (x)|，
∴ |f(x ₁ )-f(x ₂ )|≤|f _max (x)-f _min (x)|=2-(-2)=4。
（3）f′(x)=3x ² -3=3(x+1)(x-1)，
∵曲线方程为y=x ³ -3x，
∴点A（1，m）不在曲线上，
设切点为M（x ₀ ，y ₀ ），则点M的坐标满足 ，
因 ，故切线的斜率为 ，
整理得 ，
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
设 ，则 ，
由 ，得x ₀ =0或x ₀ =1，
∴g(x ₀ )在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴函数 的极值点为x ₀ =0，x ₀ =1，
∴关于x ₀ 方程 有三个实根的充要条件是 ，解得-3＜m＜-2，
故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2。