在△ABC中，已知 AB • AC =9 ，sinB=cosA•sinC，S △ABC =6，P为线段AB上的一点，且

△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵

AB •

AC =9 ，S _△ABC =6
∴bccosA=9，
1
2 bcsinA=6
∴ tanA=
4
3 ，根据直角三角形可得sinA=
4
5 ，cosA=
3
5 ，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得

CP =λ

CA +(1-λ)

CB =（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设


CA
|

CA | =

e 1 ，


CB
|

CB | =

e 2 则 |

e 1 |=|

e 2 |=1 ，

e 1 =(1，0)，

e 2 =(0，1)
∴

CP =x


CA
|

CA | +y


CB
|

CB | =（x，0）+（0，y）=（x，y）
∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12

1
x +
1
y =
1
12 (
1
x +
1
y )(4x+3y) =
1
12 (7+
3y
x +
4x
y )≥
7
12 +

3
3
故所求的最小值为
7
12 +

3
3
故选：C

1年前