qian518 春芽
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函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-[a/x].
(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-[2/x](x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0
(2)由f′(x)=1-[a/x]=[x-a/x],x>0知:
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的极值,考查了分类讨论得数学思想,属中档题.
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